単振動と相空間

1. バネの振動を「位置-速度平面」で見る

バネにつながれた質点の運動を $x(t)$\(x(t)\) のグラフで見ると、正弦波が繰り返される。しかし $x$\(x\)（位置）と $v$\(v\)（速度）を軸にした平面で見ると——

振動子の相空間

シミュレーターで初期条件（$x_0, v_0$\(x_0, v_0\)）を変えながら軌道を描いてみよう。楕円が現れる。初期条件が違っても形は相似で、振幅だけが変わる。この「位置-速度平面」が相空間（phase space）だ。

相空間では「時刻 $t$\(t\) の状態」が1点で表される。運動は相空間内の軌道として可視化される——微分方程式の解の全体構造が、数式なしに「見える」。

問い：なぜ SHM の相空間軌道は楕円なのか？ エネルギーとどう関係しているのか？