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無次元化とスケール解析
1. 方程式から「数値」を消す
前節の落下方程式 \(m\dot{v} = mg - bv\) には3つのパラメータ（\(m, g, b\)）がある。これを数値的に解くとき、\(m = 1\) kg、\(g = 9.8\) m/s²、\(b = 0.1\) kg/s、…と個別に代入すると、得られる解は「その特定のパラメータ組み合わせ」にしか使えない。
しかし無次元化すると、解が1本の曲線に縮退する——あらゆるパラメータ組み合わせを同時に表す普遍的な解だ。
無次元化・スケーリングデモ
左：物理的 θ(t)——L,g で変化。右：Θ(τ)=cos(τ)——普遍的。
ω₀ = √(g/L) = 3.130T = 2π/ω₀ = 2.007 s
τ = ω₀t、Θ = θ/θ₀ と無次元化→ d²Θ/dτ² = −Θ。すべての振り子が同じ方程式に従う！
グラフを見てほしい。異なる \(m, g, b\) の組み合わせで描いた \(v(t)\) 曲線はバラバラだが、無次元化した \(v/v_{\rm ter}\) vs \(t/\tau\) ではすべての曲線が1本に重なる。これが無次元化の力だ。
問い：方程式のどのパラメータ組み合わせが「自然なスケール」を作るのか？
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