極座標——回転する世界の記述

1. 円を描く質点の速度はどこへ向かうか

等速円運動をしている質点を想像してほしい。速さは一定なのに、速度ベクトルの向きは常に変わっている——これをデカルト座標 $(x, y)$\((x, y)\) で記述しようとすると、$\ddot{x}$\(\ddot{x}\) と $\ddot{y}$\(\ddot{y}\) が互いに混ざり合い、式が煩雑になる。

極座標の速度分解

シミュレーターで質点を動かしてみよう。デカルト座標の $x(t), y(t)$\(x(t), y(t)\) は複雑な三角関数の組み合わせになるが、極座標では $r = $\(r = \) const、$\dot{\theta} = $\(\dot{\theta} = \) const——たった2行で運動が完結する。「座標系の選択」が物理の見え方を根本から変える。

問い：極座標での速度・加速度の成分はどう導くのか？ そして「コリオリ項」はどこから現れるのか？