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運動方程式を微分方程式として解く

前章で $$ma = F$$ という式を手に入れた。

よく見ると、この式には加速度 $$a$$ が含まれている。加速度とは「速さの変化」、つまり速さを時間で微分したものだ。

\[a = \frac{dv}{dt}, \qquad v = \frac{dx}{dt}\]$$a = \frac{dv}{dt}, \qquad v = \frac{dx}{dt}$$

だから $$ma = F$$ は実は

\[m\frac{d^2x}{dt^2} = F\]$$m\frac{d^2x}{dt^2} = F$$

という形で書ける。これは「位置 $$x(t)$$ という関数を求める方程式」だ。

普通の方程式は「数を求める」（ $$2x = 6$$ → $$x = 3$$ ）。これは「関数を求める」方程式——これを微分方程式という。

	求めるもの	例
普通の方程式	数	$$2x = 6$$ → $$x = 3$$
微分方程式	関数	$m\ddot{x} = F$ → $$x(t) = ?$$

d²x/dt² = a を解くと x(t) = x₀ + v₀t + ½at² になる。a, v₀, x₀ を変えて、3つのパラメータが運動をどう決めるか見てみよう。

加速度 a = 2.0 m/s²初速度 v₀ = 0.0 m/s初位置 x₀ = 0.0 m

x(5s) = 25.00 m — a が正なら上向き（加速）、負なら下向き（減速・戻る）に曲がる。

微分方程式は何を求める方程式ですか？

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	求めるもの	例
普通の方程式	数	$\(2x = 6\)$ → $\(x = 3\)$
微分方程式	関数	$m\ddot{x} = F$ → $\(x(t) = ?\)$