運動方程式の導出

質量による加速度の違い

重さによる「動かしにくさ」

重さによる動かしにくさ

重さがそれぞれ\(m,M\)の二つのおもりを考えよう。力の加減で変わるようにしておもりの動かしづらさを実験してみる。

力というのは、「物体を動かそうとするもの」である。

さて、実験をしていただければわかるが、\(m,M\)のおもりについて考えると\(M\)の方が動かしづらいと感じるはずである。

単に、おもりが重ければ、「動かしにくい」だけでなく、どうやら、おもりの重さが1,2,3倍になると、加速度は1,1/2,1/3倍となる、いわゆる反比例の関係にあるということは言えそうだ。

力による加速度の違い

力による「動かしやすさ」

次に力が加速度とどのような関係があるか、ということを考えよう。

果たして、ボールに同じ力を加え続けるとどうなるのか。力によって運動はどのように変わるか。

次の実験では、おもりの重さを変えず、力\(F\)を変えてみる。

以上の実験から、\(F\)のかけ方で、変位\(x\),速さ\(v\)がさまざまに変化することが言えそうだ。

単に、力が大きければ、「動きやすい」だけでなく、どうやら、力の大きさが1,2,3倍になると、加速度は1,2,3倍となる、比例関係にあるということは言えそうだ。

ある物体の加速度\(a\)は、\(F\)は比例して\(m\)は反比例する。そして、加速度\(a\)から、微積分の関係を用いれば、

というように、速さ\(v\)、変位\(x\)が導ける。

運動方程式の導出

運動方程式

物理学では、簡単に言えば、現象に何か共通した基本原理、すなわち、この宇宙を支配するどこでも成り立つ性質を見つけることを目指す。

では、今回考えた実験を通して、物体の動きに関して何か不変性はあるだろうか。あるならば、どのような関係があるのか。

「比例する」という記号\(\varpropto\)を使って、\(m\varpropto F\)が\(m\)と\(F\)が

- \(m\varpropto F\)

- \(a\varpropto F\)

であることから

と書くことができる。

この関係を基本的な法則とし、これを一般に「ニュートンの運動方程式」という。

まとめ

これまでの実験から、次のことがわかった。

では、次からは

この方程式がなぜ正しいのかということはこのニュートン力学の理論からは導きだすことができない。しかし、より一般的な立場でニュートン力学を考える解析力学という分野がある。このような一般的な定式化をすることができるというのが解析力学のいいところである。このような論理体系がありその中でニュートンの運動方程式は定式化することができるのだということを覚えておくとよい。