等速直線運動

「速さが同じ」

あなたはよく運転をするだろうか。運転をするとき、注意しないといけないことは多いが、そのうちの一つに「速さ」がある。例えば、一般道では〇km/h、高速道路では〇km/hのように、法定速度が決められている。

さて、高速道路では90km/hで運転している自動車があるというように言ったとき、その速さとは一体何であるのか。

そもそもスピードが変わらないとはどのような状態のことを言うのだろうか。

他にも例を考えてみよう。

メモリの振られた直線レールの上を物体が動いている以下のアニメーションを見てみよう。

もしこれを時間ごとに止めることで、時間ごとの位置がわかるはずだ。すると、時間ごとにどのぐらい位置がどのように変化していくか分かるはずだ。

ここで、速さというものを定義する。速さとは、その物体の位置が単位時間あたりにどれだけ変化するか、という量である。ここで単位時間とは、1s等の基本となる秒数のことであり1時間(いわゆる毎時)でも1分(いわゆる毎秒)という形で、スケールに合わせて取ることができる。どれが便利であるかはその系に依存する。

速さを見てみる

例えば、動く車を時間ごとにタイムラプス風に表示させてみよう。

さてこの時間ごとの位置同士の間隔は一定のように見える。

さてこれを横軸を時間\(t\), 縦軸を位置\(x\)とし、表にし、プロットしていくと、以下のようになる。

直線になることがわかるだろう。

このような、位置と時間が一次関数となる(いわゆるリニア)であるとき、先ほどの速さの定義に照らし合わせれば、傾きが速さになることがわかる。傾きそのものが、横軸で１増加したときの変化量であるのだから。

速さを表現する

さて、今までやってきた様子から、以下のようなことが予想できる。

すなわち１秒で5ｍ進むなら、2秒で10m進み、３秒で15m進む。図にすれば以下のようになる。

速度ベクトルの向きが一定というのは

先ほど一次関数ということが分かったのだから、一般に最初の位置を\(x_{0}\)、位置を\(x(t)\)、速度を\(v\)とすれば、

のようにかける。すなわち後述するが、単位時間で変化する量を見るのなら、それを小さくとり、\(\Delta t\)と取れば、\(\Delta\)時間の間の変化量が見れる。

速さのモデル

さて先ほどの図を直線で表す方法を冒頭のアニメーションでも行ったらピッタリあうだろうか。

では、速度を変えていくとどのように変化するか、その軌跡を見てみよう。

同様に速度を変えて実験を行い、その実測データを以下のようにプロットしてみる。

これらの差を取れば０に近い。この数学のモデルが妥当であるということが言える。

結果

ここまでの実験を見ると、速度が変わらないと、時間と位置が一直線でつながるということがわかる。

言い換えれば、

・一定時間ごとに同じ距離動く

・時間-位置のグラフは直線になる

・直線の傾きが速さを表す

このように、一定の速さでまっすぐ進んでいく運動を等速直線運動という。「一次関数モデル」が基本形であるということがわかる。

速さを \( v \) とおき、時刻 0 での位置を原点 \( x_{0} = 0 \)とすれば、

時刻 \( t \)秒後の変位 \( x \) は

と書ける。

時間を 2 倍、3 倍にすると、進む距離も 2 倍、3 倍になる。

これは、これまで見てきた実験・アニメーションの結果と一致している。

速度の変化

さて、ここまで速さについて見てきたが、端的に言えば、位置がどれぐらい変わるかを速さと言えるわけだが、速さが変わることはないのだろうか。車を運転していると速度が変わるということは容易にわかるだろう。そのような速さが変わることについて考えてみたい。